()(1)yayay+⋅++⋅ , …, некоторые действительные числаПо теореме о структуре общего решения ЛОДУ (см. п. 1.2.2 егообщее решение задается формулой:где yx yx,…, , где kconstметод Эйлера. Тогда yke ⋅yke ⋅ⲅⰠnnkxyke ⋅Подставим функции ,,,,yyyy′′′в уравнение (3.1). ИмеемТак как , то получаемkaka+⋅++ Алгебраическое уравнение (3.4)относительно называется характеристическим уравнением ЛОДУ (3.1)Рассмотрим ЛОДУ второго порядка:yayby′′′+⋅+⋅ где abнекоторые постоянные. Его характеристическое уравнение kakb+⋅+ В зависимости от значения дискриминанта Dab −уравнения (3.6)возможны следующие случаи:Случай 1. корни действительные различные. Соответствующие этим корням решения kxявляются линейно независимыми и образуют фундаментальный набор решений.Действительно, их определитель Вронского 1212121221[,]()0kxkxkxkxkxkxkkxkxkxWyykeekeeekkkeke − ⋅−≠(при ). Тогда общее решениеуравнения (3.5)имеет вид:kxkxyCeCe +ПримерНайдем общее решение ЛОДУ yyy′′′+− Составим характеристическое уравнение, заменивykykkk+− Найдем его корни:  −Составим фундаментальную систему решений (ФСР: Запишем общее решение уравнения в виде (3.7)xxyCeCe +Случай 2. корни kkk действительные равные (кратныеФСР, оответствующие этим корням, образуютyxe, т.к. их определитель Вронского [,](1)(1)kxkxkxkxexeWyyekxkxeekeekx +− ≠Тогда общее решениеуравнения (3.5)имеет вид:1212yCeCxeCCxe + +Пример 2.Найдем общее решение ЛОДУ 690yyy′′′++ Составим характеристическое уравнение, заменивykyky㘀㤰kk++ Найдем его корни: kk Составим фундаментальную систему решений (ФСР: yxeЗапишем общее решение уравнения в виде (3.8)yCCxe +Случай 3. корни 1,2 ±комплексносопряженные(0). Тогда ФСР есть Воспользуемся формулой Эйлера cossin +. Отсюда 1,2(cossin)yexixββ ±. Рассмотрим линейные комбинации 112yyy +yy. Тогда cosyexsinyexесть ФСР, т.к.222cossin[,](cossin)(sincos)cos(sincos)sin(cossin)0xxxxxexexWyyexxexxexxxexxxeαααααβββββββββββββββ +−− ≠(при ). Тогда общее решениеуравнения (3.5)имеет вид:11221(cossin)yCyCyeCxCx + +Пример 3.Найдем общее решение ЛОДУ 220yyy′′′−+ Составим характеристическое уравнение, заменивykyk2㈰kk−+ Найдем его корни: −1,2ki ±ㄬ1αβ Составим фундаментальную систему решений (ФСР: cosyexsinyexЗапишем общее решение уравнения в виде (3.9)(cossin)yeCxCx +Для нахождения общего решения ЛОДУ го порядка с постоянными коэффициентами можно воспользоваться таблицей 1.Таблица 1Решение ЛОДУ го порядка с постоянными коэффициентамиДифференциальное уравнениеyayby′′′++ Характеристическое уравнениеkakb++ ДискриминантDDКорни характеристического уравнения≠∈kkk ∈1,2 ±H[s__�j_r_gb_kxkxCeCeCCxe(cossin)eCxПриведемалгоритм решения ЛОДУ го порядка(3.1)Составить характеристическое уравнение (3.4)Найти его корни.Построить ФСР, поставив в соответствие каждому действительному корню характеристического уравнения кратности совокупность из линейно независимых частных решений: kxyxeⲅⰠrkxyxeи любой паре комплекснсопряженных корней кратности совокупность из qлинейно независимых решений: cosyexcosyxexⲅⰠ挀漀猀yxex獩nyexⲅⰠ獩nyxex⠲)rqnЗаписать общее решение ЛОДУ(3.1)в виде 1122yCyCyCy +++Для записи общего решения ЛОДУ в зависимости от корней характеристического уравнения можно воспользоватьсятаблицей 2, где 11,,,,,,СССDDнекоторые постоянныеТаблица 2Вид общего решения ЛОДУ го порядка с постоянными коэффициентами зависимости от корней характеристического уравненияКореньНекратные(не повторяютсяКратные(повторяются разещественныйeCCxCx+++Комплексносопряженные корни1,2 ±(挀漀猀猀椀n)eCx)挀漀猀)獩neCCxCxxeDDxDxx++++++++Пример Найдем общее решение ЛОДУ 220yyyy′′′′−+− Составим характеристическое уравнение, заменив, ykyky22㄰kkk−+− Найдем его корни:43222221(1)2()(1)(1)2(1)(1)(21)(1)(1).kkkkkkkkkkkkkkk−+− −−− −+−− −−+ −+Характеристическое уравнение имеет действительные корни 1,2,3 −Составим фундаментальную систему решений (ФСР:xyxeyxeЗапишем общее решение уравнения: 1234xxyCCxCxeCe +++Пример Найдем общее решение ЛОДУ 220yyyy′′′′′′−+− Составим характеристическое уравнение, заменивykykyk2㈰kkk−+− Найдем его корни:323222(2)(2)(2)(2)(2)(1).kkkkkkkkkkk−+− −+− −+− −+Характеристическое уравнение имеет действительные корни 2,3 ±Составим фундаментальную систему решений (ФСР: cos獩nyxЗапишем общее решение уравнения: 123cossinyCeCxCx ++1.4.Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентовРассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ го порядка с постоянными коэффициентами , …, ()(1)yayayfx+⋅++⋅ Согласно теореме 2 (о структуре общего решения ЛНДУ (см. п. 1.1, решение уравнения (4.1)есть сумма какоголибо частного решения этого уравнения и общего решения yxсоответствующего ему однородного уравнения(3.1), т.е. оочнyyy +Как найти yx��fu�jZkkfhlj_eb�\�i������Частное решение ЛНДУ (4.1)может быть найдено двумя способами:методом неопределенных коэффициентов (методподбораметодом вариации произвольной постоянной.Метод неопределенных коэффициентовля ЛНДУ (4.1)применим только случае специального вида правой части(функции fx). Таким специальным видом может быть ()(()cos()cos)fxePxxQxx ⋅⋅+⋅где многочлены от степени соответственно постоянные.Тогда частное решение уравнения (4.1)имеет вид()(()cos()cos)yxxePxxQxx ⋅⋅+⋅где многочлены от степени max(,)lnmобщего вида с неопределенными коэффициентами кратность корня λαβ ±характеристического уравнения (если среди корней характеристического уравнения нет корня λαβ ±, то Суть метода:по виду (4.2)правой части fxуравнения (4.1)записывают ожидаемую форму частного решения (4.3)с неопределенными коэффициентами, затем подставляют ее в уравнение (4.1)и из полученного тождества находят коэффициенты.Простейшие виды правых частей уравнения (4.1)(частные случаи выражения (4.2) и соответствующие им частные решения (частные случаи формулы (4.3) указаны в таблице 3. Многочлены с неопределенными коэффициентами при различных значениях степени записываются в виде:при →при lAxB →+при lAxBxC →++при lAxBxCxD →+++при ...lkAxBxCxD →++++где коэффициенты ,,,,...ABCDподлежат определению.Таблица 3Вид частного решения ЛНДУ го порядка с постоянными коэффициентами в зависимости от вида правой части Правая часть уравнения (4.1)Вид частного решения mjZ\g_gby�(4.1)λαβ ±g_�y\ey_lky�dhjg_f�oZjZdl_jbklbq_kdh]h�mjZ\g_gbyλαβ ±y\ey_lky�dhjg_f�djZlghklb�характеристического уравнения()()fxPxтогда ,следовательно⠩⠩чнnyxPx⠩⠩yxxPx ⋅⠩⠩fxePxтогда ,следовательно⠩⠩yxePx ⋅⠩⠩yxxePx ⋅⋅⠩⠩挀漀猀⠩猀椀nfxPxxQxx ⋅+⋅тогда и, следовательно ±⠩⠩挀漀猀†† ()獩nчнλyxPxxQxx ⋅+⠩(⠩挀漀猀†† ()獩n)yxxPxxQxx ⋅⋅+⠩(⠩挀漀猀††††‫()猀椀n⤬fxePxxQxx ⋅⋅+тогда и, следовательноλαβ ±⠩(⠩挀漀猀†† ()獩n)yxePxxQxx ⋅⋅+⠩(⠩挀漀猀††††† ()獩n)yxxePxxQxx ⋅⋅⋅++⋅Замечания:После подстановки функции (4.3)в уравнение (4.1)приравнивают многочлены, стоящие перед одноименными тригонометрическими функциями в левой и правой частях уравнения.Форма (4.3)сохраняется и в случаях, когда ()0или ()0Если правая часть уравнения (4.1)есть сумма функций вида (4.2), то для нахождения следует использовать теорему о наложении решений (см. лекцию4.1, разбивая сложные уравнения на несколько простых.ПримерДля нахождения общего решения ЛНДУ с постоянными коэффициентами 25cos22yyyxexxx′′′++ +−+находим общее решение ДУ 250yyy′′′++ находим частное решение ДУ 25cos2yyyxex′′′++ находим частное решение ДУ 252yyyxx′′′++ −+ складываем решения, полученные в пп. 13. Это и будет общее решение исходного уравнения.1.5.Метод Лагранжавариации постоянныхЕсли известна фундаментальная система решений (),(),,()yxyxyxоднородного уравнения[], то общее решение соответствующего неоднородного уравнения можно найти методом Лагранжа вариации произвольных постоянных. Этот метод можно применять при решении ЛНДУ как с переменными коэффициентами, так и с постоянными. При этом, если правая часть ЛНДУ с постоянными коэффициентами (4.1)не является частным случаем формулы (4.2), то этот метод позволяет найти решение.Рассмотрим метод Лагранжа на примере ЛНДУ второго порядкаyaybyfx′′′+⋅+⋅ Соответствующее ему однородное уравнение yayby′′′+⋅+⋅ Пусть известно общее решение уравнения 5.2)001122()()()СуxСуx +выраженное через фундаментальную систему решенийуxуxгде произвольные постоянныеИдея метода: Предполагается, что частное решение ЛНДУ (5.1)имеет вид (5.3), где постоянные рассматриваются некоторыми функциями Cxи подбираются таким образом, чтобы решение1122()()()()()СxуxСxуx ⋅+⋅удовлетворяло уравнению (5.1)Для нахождения CxCxподставим (5.4)в уравнение (5.1). Будем предполагать, что функции таковы, что 1122()()()()0СxуxСxуx⋅+⋅ Тогда111122221122yCyCyCyCyCyCy′′′′′ +++ +112211112222yCyCyCyCyCyCy′′′′′′′′′′ + +++Подставим (5.4)(5.6)(5.7)в уравнение (5.1)1111222211221122()()()CyCyCyCyaCyCybСуСуfx′′′′′′′′+++++++ Перегруппируем слагаемые:111122221122CyaybуCαβуCCfx′′′′′′′′+++++++ Так как частные решения уравнения (5.2), то выражения, стоящие в скобках равенства (5.8)тождественно равны нулю, а потому 1122CyCyfx+ Таким образом, функция (5.4)будет частным решением уравнения (5.1), если функции Cxудовлетворяют системедифференциальных уравнений11221122()()()()0,()()()()().СxуxСxуxCxyxCxyxfxОпределитель системы (5.9)есть()()[,]()()yxyxWyyyxyxв силу линейной независимости функций уxуx. Поэтому система (5.9)имеетединственное решение()()[,]yxfxWyy −⠩⠩嬬崀yxfxWyyИнтегрируя функции (5.10), находим ��Z�aZl_f�ih�nhjfme_�(5.4)составляем частное решение уравнения (5.1)ПримерНайдем общее решение ЛНДУго порядка (при 221xyxyyx′′′−+ +Приведем уравнение к приведенному виду, разделив обе части на 221yyyxxx′′′−+ +⸠†††† †††††††††† ††(⨀)Заметим, что одним из решений соответствующего однородного уравнения yyy′′′−+ ††† ††††††† †††††† (⨪)являетсяфункция yxx. Найдем второе независимое решение, используя формулу ОстроградскогоЛиувилля или следствие из нее (см. теорему 9 лекции 4.1. Воспользуемся следствием из этой формулы:2ln()2222()()axdxeeexyxyxdxxdxxdxxdxxyxxxx ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∫∫∫∫Тогда общее решение ЛОДУ (**)0012yxCxCx +Найдем уравнения (∗. Пусть ()()()yxCxxCxx +. Составим систему (5.9)()()0,()()21.СxxСxxCxCxx+ +Определитель Вронского 222[,]yyWyyxxxyy − ≠По формулам (5.10)находим()()[,]yxfxWyyx − − −+⠩⠩11嬬崀yxfxWyyxxxx +Тогда()1Cxdxx −+ −+ㄱ1氀n⠩Cxdxx + −ㄱ1氀n⠩氀n⠩1yxxxxxxx −++− −+Запишем общее решение: ln()1оочнyyyCxCxxx + ++−+