МБОУ �Анопинская средняя общеобразовательная школа�
Числа в нашей жизни.
Трофимова Алина
8 класс
Числа встречаются в нашей жизни повсюду. Дата рождения, возраст, адрес, номер школы и класса, номер сотового телефона… .Общение в нашей жизни тоже невозможно без использования чисел. Само возникновение понятия числа - одно из гениальнейших проявлений человеческого разума. Действительно, числа не только что-то измеряют, сравнивают, вычисляют, но даже рисуют, проектируют, сочиняют, играют, делают умозаключения, выводы.
Платон говорил: � Мы... никогда не стали бы разумными, если бы исключили число из человеческой природы�. Можно ли представить себе мир без чисел? Возьмите то, что мы делаем изо дня в день: в определенное время отправляемся в школу, совершаем в магазине покупки, пользуемся сотовым телефоном. А космические корабли, лазеры и все другие технические средства и достижения. Они были бы попросту невозможны, если бы не наука о числах.
Самые древние по происхождению числа натуральные. В очень древнем китайском манускрипте (более 40000 лет назад) четные числа назывались женственными, а нечетные числа – мужественными. В их названии используются очень красивые названия. Мы задались вопросом, а можно ли еще найти другие числа с прилагательными, которые редко используются в школьном курсе математики. На уроках математики в 6 классе появляются числа простые. Также в учебнике дана краткая информация о дружественных, совершенных и фигурных числах.
С числами люди знакомились постепенно. На первых порах их было немного. Так, ещё недавно у туземцев были в языке названия только двух чисел: �урапун� (один) и �оказа� (два). Островитяне считали так: �оказа-урапун� (три), �оказа-оказа� (четыре) и т.д. Все числа, начиная с семи, туземцы называли словом обозначавшим �много�. Когда-то численность� множества не отделялась от других его качеств, и для того, чтобы сравнить два множества, их элементы располагали друг против друга, но потом оказалось, что удобнее сравнить все множества с одним и тем же множеством-посредником. Так как пальцы были всегда при себе, то и стали считать по пальцам. А потом появились особые названия для чисел - сначала для небольших, а потом для больших.
Первыми записями чисел можно считать� зарубки на древних бирках или костях, а позднее - чёрточки. Но большие числа изображать таким способом было неудобно, поэтому стали применять особые знаки (цифры) для некоторых совокупностей чёрточек.
В развитии теории чисел особую роль сыграли Пифагор и его школа. В основе философии этой школы лежало мистическое учение о числе.
Пифагор говорил:
�Число – это закон и связь мира, сила, царящая над богами и смертными� Существует большое количество определений понятию "число". О числах первый начал рассуждать Пифагор. По его учению число 2 означало гармонию, 5 – цвет, 6 –холод, 7 – разум, здоровье, 8 –любовь и дружбу. А число 10 называли "священной четверицей", так как 10 = 1 + 2 + 3 + 4. Оно считалось священным числом и олицетворяла всю Вселенную.
Первое научное определение числа дал Эвклид в своих "Началах": "Единица есть то, в соответствии, с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц". Так определял понятие числа и русский математик Магницкий в своей "Арифметике" (1703 г.). Считается, что термин "натуральное число" впервые применил римский государственный деятель, философ, автор трудов по математике и теории музыки Боэций (480 – 524 гг.), но еще греческий математик Никомах из Геразы говорил о натуральном, то есть природном ряде чисел. Понятием "натуральное число" в современном его понимании последовательно пользовался выдающийся французский математик, философ-просветитель Даламбер (1717-1783 гг.). Первоначальные представления о числе появились в эпоху каменного века, при переходе от простого собирания пищи к ее активному производству, примерно 100 веков до н. э. Числовые термины тяжело зарождались и медленно входили в употребление. Древнему человеку было далеко до абстрактного мышления, хватило того, что он придумал числа: "один" и "два". Остальные количества для него оставались неопределенными и объединялись в понятии "много". Росло производство пищи, добавлялись объекты, которые требовалось учитывать в повседневной жизни, в связи, с чем придумывались новые числа: "три", "четыре"… Долгое время пределом познания было число "семь".О непонятном говорили, что эта книжка "за семью печатями", знахарки в сказках давали больному "семь узелков с лекарственными травами, которые надо было настоять на семи водах в течение семи дней и принимать каждодневно по семь ложек". Познаваемый мир усложнялся, требовались новые числа. Так дошли до нового предела. Им стало число 40. Запредельные количества моделировались громадным по тем временам числом "сорок сороков", равным 1600.Большой интерес вызывает история числа "шестьдесят". Вавилоняне считали его Божьим числом: шестьдесят локтей в высоту имел золотой идол из храма вавилонского царя Навуходоносора. Позже с тем же самым значением (неисчислимое множество) возникли числа, кратные 60: 300, 360. Следующим пределом у славянского народа было число "тьма", (у древних греков – мириада), равное 10 000, а запределом – "тьма тьмущая", равное 100 миллионам. Долго и трудно человечество добиралось до 1-го уровня обобщения чисел. Сто веков понадобилось, чтобы выстроить ряд самых коротких натуральных чисел от единицы до бесконечности:1, 2, … ∞ . Натуральных потому, что ими обозначались реальные неделимые объекты: люди, животные, вещи… Самое трудное было придумать нуль. Его придумали на много веков позже, чем другие цифры. Первая точно датированная запись, в которой встречается знак нуля, относится к 876 г.
Простые числа. Решето Эратосфена
Такие ли они �простые�, эти простые числа?
Числа, которые имеют только два различных делителя, называются простыми. Например, 5=1∙5, 19=1∙19 и т. д. самое маленькое простое число – 2. Это единственное четное простое число.
Проведем небольшое исследование. Представим натуральные числа в виде произведения простых множителей: 12=2∙2∙3; 18=2∙3∙3; 140=2∙2∙5∙7 и т. д. Теперь легко объяснить роль простых чисел в математике: они являются теми кирпичиками, из которых при помощи умножения строят все остальные числа. Можно ли сосчитать все простые числа? Греческий геометр Евклид написал книгу �Начала�, и одним из утверждений этой книги было следующее: самого большого простого числа не существует.
Т.к. простые числа играют важную роль в изучении всех остальных чисел, надо было составить их список. Конечно, нельзя было надеяться получить список всех простых чисел: мы уже знаем, что наибольшего простого числа нет. Поэтому составление списка всех простых чисел столь же безнадежное занятие, как составление списка всех натуральных чисел. Но можно попробовать составить список всех простых чисел, не превосходящих, например, тысячи. Над тем, как составлять списки, задумался живший в III веке до н. э. александрийский ученый Эрастосфен. Это был удивительно разносторонний человек: он занимался и теорией чисел, и изучал звезды. Но навсегда его имя вошло в науку именно в связи с придуманным или методом отыскания простых чисел- с �решетом Эратосфена� . Он записывал все числа от 1 до какого то числа, а потом вычеркивал единицу, которая не является ни простым, ни составным числом. Затем вычеркивал через одно все числа, идущие после 2 ( числа, кратные 2, т.е.4,6,..) Первым оставшимся числом после 2 было 3. Далее вычеркивались через два все числа, идущие после 3 ( числа, кратные 3).В конце концов оставались невычеркнутыми только простые числа.
Итак, простые числа можно обнаружить только путем долгих кропотливых расчетов. Недавно было найдено простое число, содержащее 25692 цифры! Чтобы доказать, что оно простое, быстродействующему компьютеру потребовалось несколько недель. Как видно, простые числа ловко прячутся, и поэтому их стали использовать в секретных шифрах, а мы воспользуемся простыми числами для отыскания удивительных чисел.
2.2. Числа – близнецы
Два простых числа, которые отличаются на 2, как 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, получили название "близнецы". В натуральном ряду имеется даже "тройня" - это числа 3, 5, 7. Ну а сколько всего существует близнецов - современной науке неизвестно. В пределах первой сотни близнецы – это следующие пары чисел: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71,73). По мере удаления от нуля близнецов становится все меньше и меньше. Близнецы могут собираться в скопления, образуя четверки, например, (5, 7, 11, 13) или (11, 13, 17, 19). Как много таких скоплений – тоже пока неизвестно. Мы смогли составить пары первых простых чисел близнецов (до 1000). ( Приложение 1)
Глава III. Числа с необычными названиями
3.1 Дружественные числа
Дружественные числа – это два натуральных числа, для которых сумма всех делителей первого числа (кроме него самого) равна второму числу и сумма всех делителей второго числа (кроме него самого) равна первому числу. По свидетельству античного философа Ямвлиха, великий Пифагор на вопрос, кого считать своим другом, ответил: "Того, кто является моим вторым Я, как числа 220 и 284". История дружественных чисел теряется в глубине веков. Эти удивительные числа были открыты последователями Пифагора. Правда пифагорейцы знали только одну пару дружественных чисел – 220 и 284. Проверим эту пару чисел на свойство дружественных чисел:
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284,
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.( Приложение 2)
Долго считалось, что следующую пару дружественных чисел 17296 и 18416 открыл в 1636 году знаменитый французский математик Пьер Ферма. Но недавно в одном из трактатов арабского ученого Ибн аль-Банны (1256-1321) были найдены строки: "Числа 17296 и 18416 являются дружественными. Аллах всеведущ".
После Декарта первым получил новые дружественные числа Леонард Эйлер. Он открыл 59 пар дружественных чисел, среди которых были и нечетные числа, например, 9773505 и 11791935. Он предложил пять способов отыскания дружественных чисел. Эту работу продолжили математики следующих поколений. В настоящее время известно около 1100 пар дружественных чисел. В 1867 году шестнадцатилетний итальянец Никколо Паганини потряс математический мир сообщением о том, что числа 1184 и 1210 дружественные! Эту пару, ближайшую к 220 и 284, проглядели все знаменитые математики, изучавшие дружественные числа.
Пару чисел 220 и 284 стали считать символом дружбы. В Средние века имели хождение талисманы с выгравированными на них числами 220 и 284, якобы способствующими укреплению любви.
3.2 Совершенные числа
Совершенным называется число, равное сумме всех своих делителей (включая 1, но исключая само число).
Первым прекрасным совершенным числом, о котором знали математики Древней Греции, было число "6". На шестом месте на званном пиру возлежал самый уважаемый, самый почетный гость. В библейских преданиях утверждается, что мир был создан в шесть дней, ведь более совершенного числа, среди совершенных чисел, чем "6", нет, поскольку оно первое среди них.
Рассмотрим число 6. Число имеет делители 1, 2, 3 и само число 6. Если сложить делители, отличные от самого числа 1 + 2 + 3 то мы получим 6. Значит, число 6 дружественно самому себе и является первым совершенным числом.
Следующим совершенным числом, известным древним, было "28". Мартин Гарднер усматривал в этом числе особый смысл. По его мнению, Луна обновляется за 28 суток, потому что число "28" – совершенное. В Риме в 1917 году при подземных работах было открыто странное сооружение: вокруг большого центрального зала расположены двадцать восемь келий. Это было здание неопифагорейской академии наук. В ней было двадцать восемь членов. До последнего времени столько же членов, часто просто по обычаю, причины которого давным-давно забыты, полагалось иметь во многих ученых обществах. До Евклида были известны только эти два совершенных числа, и никто не знал, существуют ли другие совершенные числа и сколько таких чисел вообще может быть.( Приложение 2)
Евклид сумел найти еще два совершенных числа: 496 и 8128.
Также он доказал многочисленные свойства совершенных чисел.
– Все совершенные числа треугольные. Это значит, что, взяв совершенные число шаров, мы всегда сможем сложить из них равносторонний треугольник.
– Все совершенные числа, кроме 6, можно представить в виде частичных сумм ряда кубов последовательных нечетных чисел 13�+ 33�+ 53…
– Все совершенные числа (кроме 6) заканчиваются в десятичной записи на 16, 28, 36, 56, 76 или 9
� Компанейские числа
�Понятия совершенных и дружественных чисел часто упоминаются в литературе по занимательной математике. Однако почему-то мало говорится о том, что числа могут дружить и компаниями. Понятие компанейских чисел хорошо раскрывается в англоязычных источниках.
Компанейскими называется такая группа из k чисел, в которых сумма собственных делителей первого числа равна второму, сумма собственных делителей второго – третьему и т.д. А первое число равно сумме собственных делителей k-го числа.
Есть компании по 4, 5, 6, 8, 9 и даже 28 участников, а вот по три не найдено. Пример пятёрки, пока единственной известной: 12496, 14288, 15472, 14536, 14264.
�3.4. Фигурные числа
Давным-давно, помогая себе при счете камушками, люди обращали внимание на правильные фигуры, которые можно выложить из камушков. Можно просто класть камушки в ряд: один, два, три. Если класть их в два ряда, чтобы получались прямоугольники, то получаются все четные числа. Можно выкладывать камни в три ряда: получатся числа, делящиеся на три.�
Фигурные числа — общее название чисел, связанных с той или иной геометрической фигурой.
Различают следующие виды фигурных чисел:
Линейные числа — числа, не разлагающиеся на множители, то есть их ряд совпадает с рядом простых чисел, дополненным единицей: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …
Плоские числа — числа, представимые в виде произведения двух сомножителей, то есть составные: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, …
Телесные числа — числа, представимые произведением трёх сомножителей: 8, 12, 16, 18, 20, 24, 27, 28..
3.5. Многоугольные числа
Выкладывая различные правильные многоугольники, можно получить разные классы многоугольных чисел. Предположительно от фигурных чисел возникло выражение: "Возвести число в квадрат или в куб".
Последовательность треугольных чисел: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 4 и т.д. (1, 1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10, 1+2+3+4+5=15 и т. д.)
Квадратные числа представляют собой произведение двух одинаковых натуральных чисел, то есть являются полными квадратами: 1, 4, 9, 16, 25, 36, и т.д. (1+3=4, 1+3+5=9, 1+3+5+7=16).
Пятиугольные числа 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145
Пирамидальные числа возникают при складывании круглых камушков горкой так, чтобы они не раскатывались. Получается пирамида. Каждый слой в такой пирамиде - треугольное число. Наверху один камушек, под ним - 3, под теми - 6 и т.д.: 1, 1+3=4, 1+3+6=10, 1+3+6+10=20, ...
Кубические числа возникают при складывании кубиков: 1, 2�2�2=8, 3�3�3=27, 4�4�4=64, 5�5�5=125... и так далее.
Обращенное число – это число, записанное с теми же цифрами, но расположенными в обратном порядке. Например, 1234 обращенное 4321.
Палиндромическое число – равное обращенному. Например, 121, 5995, 12321 и т. д.
Глава IV. Интересные факты о числах
Числа встречаются в нашей жизни повсюду. Дата рождения, возраст, адрес… Приведем интересные факты о числах, которые не оставят вас равнодушными.
1. В таких странах, как Китай, Япония и Корея число �4�� считается несчастливым. Поэтому этажи с номерами, которые заканчиваются на �4� отсутствуют.
2. Центильон – это самое большое число, которое выглядит как 1 с 600 нулями. Это число было записано еще в 1852 году.
3. Число �13� - во многих государствах также считается неудачным. Поэтому этаж после �12�� имеет обозначение �14�, �12А� или �М� (тринадцатая буква в алфавите).
4. Арабы записывают цифры справа налево, начиная с младших разрядов. Поэтому увидев знакомые нам арабские цифры в тексте арабских народов, мы прочитаем их слева направо неправильно.
5. Интересные факты о числах касаются и современных технологий. Так, Google – одна из самых популярных поисковых систем. Ее придумали Сергей Брин и Ларри Пейдж. Название поисковой системы было выбрано неспроста. Так, ее создатели захотели показать то количество информации, которую система может обработать. В математике число, которое состоит из единицы� и ста нулей называется �гугол�. Интересно и то, что название �Google� записано неправильно (не �googol�). Но такая идея названия основателям понравилась еще больше.
6. 666 – это сумма всех чисел на рулетке казино.
7. Число �13� в Греции считается несчастливым днем только тогда, когда выпадает во вторник. В Италии опасаются пятницы 17-го. А вот статисты Нидерландов подсчитали, что именно 13-го числа случается меньше аварий и несчастных случаев, поскольку люди более осторожны и собраны.
8. Термин �цифра� в переводе с арабского означает �ноль�. Только со временем данное слово начали использовать для обозначения любого численного символа.
9. Число �7� считается самым счастливым числом.
10. У сороконожек совсем не 40 ножек, их может быть от 30 до 400
11. Число тринадцать, предположительно, стало считаться несчастливым из-за библейского сказания о Тайной Вечери, где присутствовало именно тринадцать человек. Причем тринадцатым был Иуда Искариот
12. Ноль "0" – единственное число, которое невозможно написать римскими цифрами. Максимальное число, которое можно записать римскими цифрами, не нарушая правил Шварцмана (правил записи римских цифр) - 3999 (MMMCMXCIX) - больше трех цифр подряд писать нельзя
13. Сумма всех чисел от одного до ста равняется 5050.
Таким образом, мы смогли убедиться, что среди всех интересных натуральных чисел, издавна изучаемых математиками, особое место занимают совершенные и близко связанные с ними дружественные числа, обладающие рядом очень интересных свойств.
Мир полон тайн и загадок. Но разгадать их могут только пытливые.
Современная наука встречается с величинами такой сложной природы, что для их изучения приходится изобретать все новые виды чисел. И нам бы хотелось продолжить изучение чисел, предложить данный материал одноклассникам, заинтересовать и увлечь их данной темой.
В процессе работы мы смогли убедиться насколько интересны числа. Некоторые числа имеют собственное название. И таких чисел немало. Можно, к примеру, вспомнить число e, число �пи�, дюжину, число зверя и пр. Значит следующее наше исследование будет посвящено таким числам.
Существуют ли �неинтересные� числа? Математики знают, что ответ на этот вопрос отрицателен.
ПРИЛОЖЕНИЯПрактическая часть
I. Используя таблицу простых чисел, расположенную на форзаце учебника математики 6 класса мы смогли составить пары первых простых чисел близнецов (до 1000). Вот они.
Первые простые числа-близнецы:
(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19),(29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73),
(101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151),(179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229),
(239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313),(347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463),
(521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619),(641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823),
(827, 829), (857, 859), (881, 883)
II. Проверим, что каждое из чисел 220 и 284;1184 и 1210; равно сумме делителей другого числа, не считая его самого ( пары дружественных чисел)
Найдём делители чисел 220 и 284.
Делители 220: 1;2;11;10;5;44;22;110;20;55;4.
Делители 284: 1;2;142;71;4.
Вычислим сумму делителей числа 220: 1+2+11+10+5+44+22+110+20+55+4 = 284.
Вычислим сумму делителей числа 284: 1+2+142+71+4 = 220
Вывод: сумма делителей числа220 равна числу284, а сумма делителей числа 284 равна числу 220, значит, числа 220 и 284 являются дружественными.
Найдем делители чисел 1184 и 1210.
Делители 1184: 1;4;37;2;74;148;196;592;32;16;8.
Делители 1210: 1;2;605;5;121;11;10;110;55;22;242.
Вычислим сумму делителей числа 1184: 1+4+37+2+74+148+196+592+32+16+8 = 1210.
Вычислим сумму делителей числа 1210: 1+2+605+5+121+11+10+110+55+22+242 = 1184.
Вывод: сумма делителей числа 1184 равна числу 1210 , а сумма делителей числа 1210 равна числу 1184, значит, числа 1184 и 1210 являются дружественными.
ІІI. Проверим, что каждое из чисел 6, 28, 496, 8128, 33550336, равно сумме всех его делителей, не считая самого числа.( совершенные числа)
Найдем делители числа 6: 1;2;3.
Вычислим сумму его делителей 1+2+3 = 6.
Найдем делители числа 28: 1;2;4;7;14.
Вычислим сумму его делителей 1+2+4+7+14 = 28.
Найдем делители числа 496: 1;2;4;8;16;62;124;248,31.
Вычислим сумму его делителей 1+2+4+8+16+31+62+124+248 = 496.
Вывод: сумма всех делителей этих чисел, не считая самого числа, равна самому числу, значит, это есть совершенные числаЛИТЕРАТУРА
1. Я. Познаю мир. Детская энциклопедия: Математика/ Я 11 Авт.-сост. А.П. Савин и др.: - М.: ООО "Издательство АСТ", 2001.
2. Математический энциклопедический словарь. – Москва �Советская энциклопедия� 1988г.
3. Я.И. Перельман. Живая математика. Математические рассказы и головоломки. М: Триада – литера 1994.
4. Г.И.Гейзер. История математики в школе. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1981.
5. И.Я.Депман. Н.Я.Виленкин. За страницами учебника математики. Пособие для учащихся 5-6 классов. Издательство"Просвещение" 1989.
6. Е.Карпеченко Тайны чисел .Математика /Прил. К газете "Первое сентября" №13 2007.
7. Internet ресурсы
8. В. Боро � Живые числа�. Москва, Мир, 1985 год.
3