Всероссийский сборник статей и публикаций портала Гениальные дети.

Знатоки математики


Скачать публикацию
Язык издания: русский
Периодичность: ежедневно
Вид издания: сборник
Версия издания: электронное сетевое
Публикация: Знатоки математики
Автор: Косимова Сафия
Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигурыПереходим к рассмотрению приложений интегрального исчисления. На этом уроке мы разберем типовую и наиболее распространенную задачу – как с помощью определенного интеграла вычислить площадь плоской фигуры. Наконец-то ищущие смысл в высшей математике – да найдут его. Мало ли. Придется вот в жизни приближать дачный участок элементарными функциями и находить его площадь с помощью определенного интеграла.Для успешного освоения материала, необходимо:1) Разбираться в неопределенном интеграле хотя бы на среднем уровне. Таким образом, чайникам для начала следует ознакомиться с уроком .2) Уметь применять формулу Ньютона-Лейбница и вычислять определенный интеграл. Наладить теплые дружеские отношения с определенными интегралами можно на странице .В действительности, для того чтобы находить площадь фигуры не надо так уж много знаний по неопределенному и определенному интегралу. Задание «вычислить площадь с помощью определенного интеграла» всегда предполагает построение чертежа, поэтому гораздо более актуальным вопросом будут ваши знания и навыки построения чертежей. В этой связи полезно освежить в памяти графики основных элементарных функций, а, как минимум, уметь строить прямую, параболу и гиперболу. Сделать это можно (многим – нужно) с помощью методического материала  и статьи о.Собственно, с задачей нахождения площади с помощью определенного интеграла все знакомы еще со школы, и мы мало уйдем вперед от школьной программы. Этой статьи вообще могло бы и не быть, но  дело в том, что задача встречается в 99 случаев из 100, когда студент мучается от ненавистной вышки с увлечением осваивает курс высшей математики.Материалы данного практикума изложены просто, подробно и с минимумом .Начнем с криволинейной трапеции.Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная осью ,  ,  и графиком  на отрезке  функции , которая  на этом промежутке. Пусть данная фигура расположена не ниже оси абсцисс:Тогда площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу . У любого определенного интеграла (который существует) есть очень хороший геометрический смысл. На уроке  я говорил, что определенный интеграл – это число. А сейчас пришла пора констатировать еще один полезный факт. С точки зрения геометрии определенный интеграл – это ПЛОЩАДЬ.То есть, определенному интегралу (если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры. Например, рассмотрим определенный интеграл . Подынтегральная функция  задает на плоскости кривую, располагающуюся выше оси  (желающие могут выполнить чертёж), а сам определенный интеграл  численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.Пример 1Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .Это типовая формулировка задания. Первый и важнейший момент решения – построение чертежа. Причем, чертеж необходимо построить ПРАВИЛЬНО. При построении чертежа я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций. Графики функций выгоднее строить поточечно, с техникой поточечного построения можно ознакомиться в справочном материале . Там же можно найти очень полезный применительно к нашему уроку материал – как быстро построить параболу.В данной задаче решение может выглядеть так.Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение  задает ось ):Штриховать криволинейную трапецию я не буду, здесь очевидно, о какой площади идет речь. Решение продолжается так:На отрезке   график функции  расположен над осью , поэтому:Ответ: У кого возникли трудности с вычислением определенного интеграла и применением формулы Ньютона-Лейбница , обратитесь к лекции .После того, как задание выполнено, всегда полезно взглянуть на чертеж и прикинуть, реальный ли получился ответ. В данном случае «на глазок» подсчитываем количество клеточек в чертеже – ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получился, скажем, ответ: 20 квадратных единиц, то, очевидно, что где-то допущена ошибка – в рассматриваемую фигуру 20 клеточек явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.Пример 2Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , ,  и осью Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.Что делать, если криволинейная трапеция расположена под осью ?Пример 3Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ,  и координатными осями.Решение: Выполним чертеж:Если криволинейная трапеция расположена под осью  (или, по крайней мере, не выше данной оси), то её площадь можно найти по формуле: В данном случае:Ответ: Внимание! Не следует путать два типа задач:1) Если Вам предложено решить просто определенный интеграл без всякого геометрического смысла, то он может быть отрицательным.2) Если Вам предложено найти площадь фигуры с помощью определенного интеграла, то площадь всегда положительна! Именно поэтому в только что рассмотренной формуле фигурирует минус.На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому, от простейших школьных задачек переходим к более содержательным примерам.Пример 4Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями , .Решение: Сначала нужно выполнить чертеж. Вообще говоря, при построении чертежа в задачах на площадь нас больше всего интересуют точки пересечения линий. Найдем точки пересечения параболы  и прямой . Это можно сделать двумя способами. Первый способ – аналитический. Решаем уравнение:Значит, нижний предел интегрирования , верхний предел интегрирования .Этим способом лучше, по возможности, не пользоваться.Гораздо выгоднее и быстрее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой». Техника поточечного построения для различных графиков подробно рассмотрена в справке. Тем не менее, аналитический способ нахождения пределов все-таки приходится иногда применять, если, например, график достаточно большой, или поточенное построение не выявило пределов интегрирования (они могут быть дробными или иррациональными). И такой пример, мы тоже рассмотрим.Возвращаемся к нашей задаче: рациональнее сначала построить прямую и только потом параболу. Выполним чертеж:Повторюсь, что при поточечном построении пределы интегрирования чаще всего выясняются «автоматом».А теперь рабочая формула: Если на отрезке  некоторая непрерывная функция больше либо равна некоторой непрерывной функции , то площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций и прямыми , , можно найти по формуле: Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, и, грубо говоря, важно, какой график ВЫШЕ (относительно другого графика), а какой – НИЖЕ.В рассматриваемом примере очевидно, что на отрезке  парабола располагается выше прямой, а поэтому из  необходимо вычесть Завершение решения может выглядеть так:Искомая фигура ограничена параболой  сверху и прямой  снизу.На отрезке  , по соответствующей формуле:Ответ: На самом деле школьная формула для площади криволинейной трапеции в нижней полуплоскости (см. простенький пример №3) – частный случай формулы . Поскольку ось  задается уравнением , а график функции  расположен не выше оси , то А сейчас пара примеров для самостоятельного решенияПример 5Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .Пример 6Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .В ходе решения задач на вычисление площади с помощью определенного интеграла иногда случается забавный казус. Чертеж выполнен правильно, расчеты – п